Историк, археолог, филолог-классик, искусствовед, музейный деятель. Брат филолога Д.В.Цветаева, отец Марины и Анастасии Цветаевых.

Родился в селе Дроздово Владимирской губернии. Окончил историко-филологический факультет Санкт-Петербургского университета. В Музеи поступил на службу в 1882 и 28 лет отдал этому служению. С 1882 — заведующий Гравюрным отделением, с марта 1993 — заведующий Отделением изящных искусств и классических древностей, в 1901—1910 — директор Музеев.

Был инициатором сбора частных пожертвований на приобретение коллекций и строительство зданий Музеев. Изменил в интересах посетителей режим работы Музеев, при нём было увеличено число мест в читальном зале. Также при Цветаеве в Музеях были проведены большие строительные работы, обновлены здания. Продолжался рост фонда, в том числе и за счёт богатых пожертвований. Так, по завещанию К.Т.Солдатёнкова в Музеи поступила его богатейшая коллекция книг, периодики, картин; в собственность Музеев учениками профессора Н.С.Тихонравова М.В. и С.В.Сабашниковыми была передана приобретённая на их средства библиотека и собрание рукописей Тихонравова. Сам И.В.Цветаев, члены его семьи неоднократно передавали в фонд Музеев свои пожертвования. В частности, М.И.Цветаева писала об отце: «Библиотеку, огромную, трудо- и трудноприобретённую, не изъяв ни одного тома, отдал в Румянцевский музей».

При нём были утверждены новые правила о Совете Музеев: в состав Совета впервые введены помощники библиотекаря и хранителей, консерватор картинной галереи, заведующий читальным залом.

В 1910 тогдашний министр народного просвещения (и сослуживец Цветаева по Московскому университету) А.Н.Шварц передал обвинение на И.В.Цветаева в служебном нерадении в уголовный суд Правительствующего Сената. Обвинение было связано с кражей в Гравюрном отделении Румянцевского музея. Вора быстро отыскали, Цветаев нашёл у того почти все украденные гравюры, обвинённого в халатности хранителя суд оправдал. Но ревизии в музее следовали одна за другой. Некомпетентные ревизоры представили начальству не соответствующие действительности доклады. Например, указывалось, что в гравюрном отделении учёт не налажен и нет даже каталога. Недостоверными были их отчеты и по Нумизматическому кабинету, о гипсовых слепках и др. Министр удалил И.В.Цветаева от должности без пенсии.

Однако обвинительные документы не убедили Правительствующий Сенат. Министру предложили провести дополнительную ревизию Музея. Снятие тайного советника Цветаева с должности и назначение над ним судебного следствия не было поддержано, что видно из Постановления Сената от 17 декабря 1909 и его Указа от 15 марта 1910.

А.Н.Шварц послал третий рапорт в Сенат о профессиональной непригодности И.В.Цветаева к должности директора Музея и вновь предложил его уволить. Сенат из-за отсутствия доказательств опять ответил отказом. В свою очередь, обвиняемый написал и предоставил в Сенат для своей защиты книгу «Московский Публичный и Румянцевский Музеи. Спорные вопросы. Опыт самозащиты И.Цветаева, быв[шего] директора сих Музеев». Дело наконец было прекращено. В 1912 был поднят вопрос о возвращении И.В.Цветаева на должность директора, однако к тому времени он уже руководил созданным им Музеем изящных искусств и не мог совмещать обе должности.

Действительный член Петербургской Академии художеств, член-корреспондент Российской Академии наук, почётный член Болонского университета, профессор Московского, Киевского, Варшавского университетов, основатель и первый директор Музея изящных искусств. В 1913 был единогласно избран почётным членом Московского публичного и Румянцевского музеев.

Награждён орденами Св. Анны II степени, Св. Владимира III степени, Св. Станислава III, II, I степени, памятными медалями. Король Италии пожаловал Цветаеву Кавалерский крест ордена Итальянской короны, он награждён также орденом Прусской короны II степени.

Похоронен на Ваганьковском кладбище [1].

[1] Сотрудники РГБ. С. 169—173.

[2] В.Д.Сухов. Портрет И.В.Цветаева. Холст, мел, цветные карандаши. ГМИИ